IE 的数学基础
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    微积分                线性代数              概率统计
   （连续/变化）          （多变量/线性）        （不确定/推断）
        │                     │                     │
   工程经济现金流        运筹学单纯形法        SPC 控制图
   库存模型的积分        多元回归             假设检验
   可靠性（积分）        马尔可夫链           排队论
   最优化（梯度）        网络分析             仿真输入分析
   生产批量模型          特征值（AHP）        可靠性
   
        └─────────────────────┼─────────────────────┘
                              │
                        最优化理论
                    （贯穿运筹学、机器学习）

一阶导数 f'(x) = 0 → 驻点（可能是极值点）
二阶导数 f''(x) > 0 → 极小值；f''(x) < 0 → 极大值

年总成本 TC(Q) = (D/Q) × S + (Q/2) × H
    其中 D 年需求量，S 订货成本，H 持有成本，Q 订货量

求导：dTC/dQ = -DS/Q² + H/2

令导数为 0：
    -DS/Q² + H/2 = 0
    Q² = 2DS/H
    Q* = √(2DS/H)     ← 这就是 EOQ 公式

验证：d²TC/dQ² = 2DS/Q³ > 0 → 是极小值 ✓

边际成本 MC = dC/dQ（多生产一单位的成本）
边际收益 MR = dR/dQ

最优产量：MR = MC

沿负梯度方向搜索最优解：
    x_{k+1} = x_k - α × ∇f(x_k)

这是梯度下降、机器学习优化器的基本原理

连续型随机变量 X 落在区间 [a, b] 的概率：
    P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

累积分布函数：
    F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt

可靠度函数 R(t) = P(T > t) = 1 - F(t)

平均无故障时间 MTTF：
    MTTF = ∫_0^∞ R(t) dt

（对于指数分布，MTTF = 1/λ）

若生产率 P(t) 和需求率 D(t) 是时间的函数，
    到第 T 时刻的累积库存 = ∫_0^T [P(t) - D(t)] dt

1 + r + r² + ... + r^{n-1} = (1 - r^n)/(1 - r)

年金现值：
    P = A/(1+i) + A/(1+i)² + ... + A/(1+i)^n
      = A × [1 - (1+i)^{-n}] / i
    
    ← 就是一个公比为 1/(1+i) 的等比级数

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)(x-x₀)²/2! + ...

加法/减法：同型矩阵对应元素相加减
数乘：每个元素乘以常数

乘法（最重要）：
    C = A × B，其中 c_ij = Σ_k a_ik × b_kj
    
    ★ 维度规则：(m×n) × (n×p) = (m×p)
    ★ **矩阵乘法不满足交换律**：AB ≠ BA（一般情况）

转置：(AB)^T = B^T × A^T

2 阶：|a b; c d| = ad - bc
3 阶：按行/列展开

性质：
    · 行列式 ≠ 0 ↔ 矩阵可逆 ↔ 矩阵满秩
    · |AB| = |A| × |B|

A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I（单位阵）

求解方法：
    · 伴随矩阵法（理论）
    · 初等行变换（实用）：[A | I] → [I | A⁻¹]

应用：解线性方程组 Ax = b → x = A⁻¹b

单纯形表中的关键量：
    检验数 σ_j = c_j - c_B × B⁻¹ × P_j
    基变量值 X_B = B⁻¹ × b
    对偶变量 Y = c_B × B⁻¹
    
→ 灵敏度分析中「B⁻¹b' ≥ 0」的判据，用的就是 B⁻¹

定义：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目

性质：
    · 秩 = 行秩 = 列秩
    · 满秩方阵可逆
    
含义：矩阵所张成的空间的维度

定义：若存在非零向量 v 和数 λ，使得
        A × v = λ × v
    则称 λ 是 A 的特征值，v 是对应的特征向量

求解：
    特征方程：|A - λI| = 0
    解出 λ 后，解 (A - λI)v = 0 得到 v

AHP 的判断矩阵 A 满足：A × W = λ_max × W

其中 W 就是权重向量（最大特征值对应的特征向量）

这就是「用特征向量求权重」的原理

协方差矩阵的特征向量 = 主成分方向
对应的特征值 = 该方向上的方差大小

→ 取最大的几个特征值对应的特征向量，就是降维后的主成分

转移概率矩阵 P，稳态分布 π 满足：
    π × P = π
    
→ π 是 P 的、特征值为 1 的左特征向量

Ax = b 的解的情况：
    · rank(A) = rank(A|b) = n → 唯一解
    · rank(A) = rank(A|b) < n → 无穷多解
    · rank(A) < rank(A|b) → 无解

不要只盯着数字。尝试「看到」矩阵运算：
    · 矩阵 × 向量 = 变换这个向量
    · 行列式 = 面积/体积的缩放比
    · 特征值/向量 = 变换中「不变的方向」
    · 秩 = 空间的维度

推荐资源：3Blue1Brown 的《线性代数的本质》系列视频

手算：理解原理（3×3 以内的矩阵要会手算）
工具：实际问题用软件

Python 示例：
    import numpy as np
    A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
    np.linalg.det(A)      # 行列式
    np.linalg.inv(A)      # 逆矩阵
    np.linalg.eig(A)      # 特征值和特征向量
    np.linalg.solve(A, b) # 解 Ax = b
    np.linalg.matrix_rank(A)

学运筹学时，回头看线性代数：
    · 单纯形表的行变换 = 矩阵的初等行变换
    · 基矩阵 B 和 B⁻¹ 的实际作用
    
这样两门课会互相强化

0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Ω) = 1（必然事件）
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)    加法公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)           条件概率
P(A∩B) = P(A) × P(B)             独立时
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)           乘法公式（一般形式）

某产品由三条线生产：
    A 线产量占 50%，不合格率 1%
    B 线产量占 30%，不合格率 2%
    C 线产量占 20%，不合格率 3%

现抽到一个不合格品，问它来自 A 线的概率？

P(不合格) = 0.5×0.01 + 0.3×0.02 + 0.2×0.03
          = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017

P(A线 | 不合格) = 0.5 × 0.01 / 0.017 = 0.005/0.017 = 29.4%

结论：虽然 A 线产量占一半，但因为它质量最好，
      抽到的不合格品来自 A 线的概率只有 29.4%

标准正态分布 Z ~ N(0, 1)
    任何正态分布都可标准化：Z = (X - μ)/σ

三个重要区间（必记）：
    μ ± 1σ  → 68.27%
    μ ± 2σ  → 95.45%
    μ ± 3σ  → 99.73%   ← SPC 控制图 3σ 原则的来源
    μ ± 1.96σ → 95%    ← 95% 置信区间的来源

若单位时间内的到达次数服从泊松分布 P(λ)
则两次到达之间的间隔时间服从指数分布 E(λ)

这是 M/M/1 排队模型中第一个「M」的含义

对 n 维随机向量 X = (X₁, ..., X_n)：
    Σ = [σ_ij]，其中 σ_ij = Cov(X_i, X_j)
    
对角线是各变量的方差，非对角线是协方差
这是一个对称矩阵，且半正定

PCA 就是对这个矩阵做特征值分解

随着样本量增大，样本均值趋近于总体期望：
    x̄ → μ  (当 n → ∞)

无论总体服从什么分布，只要样本量足够大（通常 n ≥ 30），
样本均值 x̄ 的分布近似服从正态分布：

    x̄ ~ N(μ, σ²/n)

标准化：
    (x̄ - μ) / (σ/√n) ~ N(0, 1)

它让我们在不知道总体分布的情况下，也能对均值做推断。

★ SPC 中 X̄ 控制图的理论基础：
    即使单件产品的质量特性不是正态分布，
    子组均值 x̄ 也近似正态分布
    → 这就是为什么可以用 ±3σ 作为控制限

样本均值的标准差（标准误）：
    σ_x̄ = σ / √n
    
→ 样本量增大 4 倍，标准误减小一半
→ 要提高估计精度，需要大幅增加样本量（平方关系）

σ 已知 → 用 z（正态分布）
σ 未知，用 s 估计 → 用 t（自由度 n-1）

t 分布比正态分布「尾部更厚」
    n 越小，尾部越厚（越保守）
    n → ∞ 时，t 分布趋近正态分布
    
★ 实务中 σ 通常未知，所以 t 检验比 z 检验更常用

给定观测数据 x₁, ..., x_n，参数的哪个取值最「可能产生」这批数据？

似然函数：L(θ) = Π f(x_i | θ)
求使 L(θ) 最大的 θ

（实务中取对数，把乘法变成加法：ln L = Σ ln f(x_i|θ)）

练习：对每个常见分布，知道它「长什么样」、什么时候用

    · 二项分布：离散，n 次试验的成功次数
    · 泊松分布：离散，随机事件计数（右偏，λ 大时趋近正态）
    · 正态分布：对称钟形，测量误差、尺寸
    · 指数分布：右偏，无记忆性，寿命/间隔
    · 对数正态：右偏，工时、维修时间

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成随机样本，验证中心极限定理
np.random.seed(42)
# 从指数分布（明显非正态）中抽样
data = np.random.exponential(scale=2, size=10000)

# 样本均值的分布（每次抽 30 个）
means = [np.mean(np.random.choice(data, 30)) for _ in range(1000)]

# 画图：会看到近似正态
plt.hist(means, bins=50, density=True)
plt.show()

min f(x)
s.t. g_i(x) ≤ 0,  i = 1,...,m     不等式约束
     h_j(x) = 0,  j = 1,...,p     等式约束
     x ∈ X                        定义域

L(x, λ) = f(x) + λ × g(x)

∇f(x*) + λ × ∇g(x*) = 0
g(x*) = 0

举例：最大化利润，约束是资源上限 b
    L = 利润 - λ(资源使用 - b)
    
    λ* 的含义：资源 b 增加 1 单位，最优利润增加 λ*
    
    ★ 这正是运筹学中「影子价格 / 对偶变量」的数学来源

凸集：集合中任意两点的连线仍在集合内
凸函数：f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)

★ 凸优化的性质：局部最优 = 全局最优
    → 这是为什么凸优化问题「好解」
    
线性规划是凸优化的特例（线性函数既是凸函数也是凹函数）

步骤 1：问题界定
    要优化什么？（目标）
    受什么限制？（约束）
    能决定什么？（决策变量）

步骤 2：假设简化
    哪些因素可以忽略？
    哪些关系是线性的？
    随机性如何处理？
    
    ★ 关键：假设要「合理且可检验」

步骤 3：建立模型
    定义符号（决策变量、参数）
    写出目标函数
    写出约束条件

步骤 4：求解
    选择合适的算法/软件
    得到最优解或满意解

步骤 5：验证与敏感性分析
    解是否合理？（ sanity check）
    参数变化时结论是否稳健？
    模型能否解释实际现象？

时间：每年 9 月（通常为期 3 天）
形式：3 人一组，在 72 小时内完成一道实际问题的建模与求解
产出：一篇完整的建模论文

# 用 PuLP 求解线性规划
from pulp import *

# 问题：生产两种产品，最大化利润
# 产品 A：利润 5，需资源1 2单位，资源2 1单位
# 产品 B：利润 8，需资源1 2单位，资源2 3单位
# 资源1 上限 100，资源2 上限 120

prob = LpProblem("生产计划", LpMaximize)

x1 = LpVariable("产品A", 0, None, cat='Continuous')
x2 = LpVariable("产品B", 0, None, cat='Continuous')

# 目标函数
prob += 5*x1 + 8*x2, "总利润"

# 约束
prob += 2*x1 + 2*x2 <= 100, "资源1"
prob += 1*x1 + 3*x2 <= 120, "资源2"

prob.solve()

print(f"产品A: {value(x1)}, 产品B: {value(x2)}")
print(f"最大利润: {value(prob.objective)}")

# 影子价格
print("资源1 影子价格:", prob.constraints["资源1"].pi)

EOQ 推导：TC(Q) = DS/Q + QH/2 → Q* = √(2DS/H)
边际分析：最优时 MR = MC
梯度下降：x_{k+1} = x_k - α∇f(x_k)
等比级数：1+r+...+r^{n-1} = (1-r^n)/(1-r)

矩阵乘法：c_ij = Σ a_ik × b_kj（不满足交换律）
转置：(AB)^T = B^T A^T
行列式 ≠ 0 ↔ 可逆 ↔ 满秩
特征值：Av = λv
AHP：A × W = λ_max × W（权重 = 特征向量）
PCA：协方差矩阵的特征向量 = 主成分

全概率：P(A) = ΣP(A|B_i)P(B_i)
贝叶斯：P(B_i|A) = P(A|B_i)P(B_i)/P(A)
正态分布：μ±1σ=68.27%，±2σ=95.45%，±3σ=99.73%，±1.96σ=95%
中心极限定理：x̄ ~ N(μ, σ²/n)（n ≥ 30）
标准误：σ_x̄ = σ/√n

σ 未知 → t 检验；σ 已知 → z 检验
方差分析：F = MSB/MSW
卡方：拟合优度、方差推断

拉格朗日：L = f(x) + λg(x)
λ = 影子价格（约束放松一单位的改善量）
凸优化：局部最优 = 全局最优